初二数学优秀教案

由于应用函数图象解决问题的关键是要很好地对给出的图象进行解读，将数学语言与生活语言进行互相转化，从图象中去获取信息，发现存在的已知条件进而去解决相应的数学问题。同时又考虑到一次函数图象的应用是学生在初中阶段所接触到的第一类函数图象的应用性问题，因此要求又不应过高，进而确立了本节课的重点;在难点问题的确立上，考虑到学生在学习中往往只注重当堂课的内容，而忽略知识之间的联系，特别是“数形结合”的学习意识还很淡薄，独立探索学习发现问题的能力还比较低，例如“一次函数图象与横坐标轴交点的横坐标与一元一次方程的解的关系”学生就很难独立去发现，必须由教师进行引导发现，基于以上原因，进而确立了本节课的教学难点。具体为：

1、教学重点：利用函数图象解决简单的实际问题，提高数学的应用意识和能力。

2、教学难点：体会函数与方程的关系，发展“数形结合”的思想。

二、学情状况分析：

1、学生现状：

针对自己对学生在学习过程中的了解情况，特别是在第六章《一次函数》前四节课内容的学习情况，分析当前学生现状如下：

⑴、学生们整体性的学习目的较为明确，在学习上有强烈的求知欲望。

⑵、学生整体上知识功底较好，在数学问题的解决上已初步形成了一定的方法。

⑶、学生们具有探索精神和实践的意识，在学习活动中有主动质疑的意识，有批判意识。敢于表达自己的观点和想法。

⑷、善于在亲身的经历体验中去获取数学的新知识，但在数学说理和数学证明上尚不规范，欠缺相应的经验。

2、知识情况：

本节课的核心任务是组织学生通过开展经历体验探究活动，进行应用一次函数的图象解决简单的实际问题并发现一元一次方程与一次函数之间关系的过程。使学生体会到数学学习过程中“数形结合”思想的重要性。

3、预期效果：

学生在利用一次函数图象解决简单的问题上不会有太大的困难，因为在第五章《位置的确定》中有关平面直角坐标系及第六章前四节的学习中，学生在知识储备上已完全具备。而在相关经验上他们在七年级下学期第六章《变量之间的关系》一章中也早有所获得。但在“数形结合” 、“数形转化”以及用数学语言规范答题甚至包括探索一元一次方程与一次函数之间关系方面会有一些困难。

另外，本节课的教学时间会十分紧张，自己在具体的课堂教学实践中将适时把握，恰当处理，以期达到效果。

三、教学方法及策略：

如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。我在教学过程中拟计划进行如下操作：

1、教学方法：

根据本节课的特点、目标要求及学生的实际情况，在教学方法上主要采用引导观察启发，组织实践探索交流、提问引导探索发现等方法进行本节课的教学活动。

2、教学的理论依据及教学策略

首先《数学课程标准》中明确要求在知识传授的同时，更要注重学生学习活动的过程以及相应的情感态度。将抽象的数学问题进行形象化、生活化是当前新一轮基础教育课程改革下所积极倡导的。因此紧密联系学生的生活经历和经验开展本节课的教学内容十分必要。将学生放在课堂教学的主体位置上，自己成为课堂的组织者、引导者并最终成为与学生的合作者是自己在本节课教学中的一个主导思想。

其次，数学作为基础性的自然学科，很多知识的获取必须通过耐心细致的观察，特别是本节课，主要是通过一次函数的图象去获取信息(已知条件)进而去解决问题，因此引导学生进行大量细致的观察活动是十分必要的，这也是对学生一种良好学习习惯的培养。实践是验证结论的办法，所以本节课还特别安排学生进行了相应的实践验证活动，但数学实践并不一定是具体的实物操作，完全可以利用教材、多媒体网络资源开展，本节课就是如此。

再次，充分引导组织学生参与学习活动中来，就必须要开展学生之间、师生之间的交流讨论与互动活动，因此本节课安排了一定的相关活动，使学生充分融入到学习活动中来。体现并凸现学生参与学习活动的过程。同时，探索发现新的结论是数学学科一重大特点，为了解决难点问题，在进行“一次函数图象与横坐标轴交点的横坐标与一元一次方程的解的关系”这一问题的教学时，充分引导学生开展大胆质疑、主动探索、发现结论、解决问题、树立成就感等一系列活动，难点问题解决的同时，也培养了学生创新精神，也可以在某种程度上培养学生主动学习的探索意识。

本节课自己将充分依据《数学课程标准》中所倡导的教师角色，即在课堂教学中真正意义上地成为学生学习活动过程中的组织者、引导者和合作者。充分与学生开展互动活动，与他们共同质疑、共同困惑、共同寻求解决问题的办法。同时在组织学生进行实践的过程中引导学生积极开展交流讨论活动，实现生生间的互动。同时，对教材内容进行一定的创造性使用，以达到更佳的效果。

3、学习方法：

本节课在对学生进行学法指导上，主要是要求和引导学生采用实践探索的方法，进而培养学生数学学习的良好习惯，渗透终身学习的意识，培养学生们的创新精神，使他们体会到数学问题解决的严密性和规范性。指导学生对一次函数的图象进行耐心细致的观察，使学生充分意识到细致的观察、审清题意是应用一次函数图象解决问题的基础和关键，通过范例使学生亲身体会到明确函数图象中两坐标轴所表示的实际意义是解决此类问题的关键。通过该方法的学习培养，帮助学生积累学习方法的同时，也使他们养成耐心细致的学习习惯。交流讨论与合作关系是本节课学生学习活动过程中的重点，通过该学习方法，使学生们充分意识到在数学学习中要互相帮助、互相促进，体会到团队的力量大与个人力量。引导学生主动探索发现新的数学结论是本节课学生学习方法的另一个重要的方面，可以使学生敢于发表自己的独到观点和想法，在函数与方程的关系的学习中，在自己的引导启发下，充分尊重学生的观点及想法，通过实践验证，发现新结论，进而培养学生主动探索新知识，发现新问题的终身学习意识。同时也可以帮助学生树立起获取新知识后的成就感，增强数学学习的信心和兴趣。

初二数学优秀教案2

一、内容简介

本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。

关键信息：

1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。

2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。

二、学习者分析：

1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：

①同类项的定义。

②合并同类项法则

③多项式乘以多项式法则。

2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平：

在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。

三、教学/学习目标及其对应的课程标准：

(一)教学目标：

1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。

2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

(二)知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理

数、实数、代数式、防城、不等式、函数;掌握必要的运算，(包括估算)技能;探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。

(四)解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题;尝试从不同

角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异;通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

(五)情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难

和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心;并尊重与理解他人的见解;能从交流中获益。

四、教育理念和教学方式：

1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。

教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时

候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向;当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。

2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式

展开教学。

3、教学评价方式：

(1)通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主

动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。

(2)通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，

揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。

(3)通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的

教学效果。

五、教学媒体：多媒体六、教学和活动过程：

教学过程设计如下：

〈一〉、提出问题

[引入]同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，通过运算下列四个小题，你能总结出结果与多项式中两个单项式的关系吗?

(2m+3n)2=_______________，(-2m-3n)2=______________，

(2m-3n)2=_______________，(-2m+3n)2=_______________。

〈二〉、分析问题

1、[学生回答]分组交流、讨论

(2m+3n)2=4m2+12mn+9n2，(-2m-3n)2=4m2+12mn+9n2，

(2m-3n)2=4m2-12mn+9n2，(-2m+3n)2=4m2-12mn+9n2。

(1)原式的特点。

(2)结果的项数特点。

(3)三项系数的特点(特别是符号的特点)。

(4)三项与原多项式中两个单项式的关系。

2、[学生回答]总结完全平方公式的语言描述：

两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍;

两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。

3、[学生回答]完全平方公式的数学表达式：

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a-b)2=a2-2ab+b2.

〈三〉、运用公式，解决问题

1、口答：(抢答形式，活跃课堂气氛，激发学生的学习积极性)

(m+n)2=____________,(m-n)2=_______________,

(-m+n)2=____________,(-m-n)2=______________,

(a+3)2=______________,(-c+5)2=______________,

(-7-a)2=______________,(0.5-a)2=______________.

2、判断：

()①(a-2b)2=a2-2ab+b2

()②(2m+n)2=2m2+4mn+n2

()③(-n-3m)2=n2-6mn+9m2

()④(5a+0.2b)2=25a2+5ab+0.4b2

()⑤(5a-0.2b)2=5a2-5ab+0.04b2

()⑥(-a-2b)2=(a+2b)2

()⑦(2a-4b)2=(4a-2b)2

()⑧(-5m+n)2=(-n+5m)2

3、小试牛刀

①(x+y)2=______________;②(-y-x)2=_______________;

③(2x+3)2=_____________;④(3a-2)2=_______________;

⑤(2x+3y)2=____________;⑥(4x-5y)2=______________;

⑦(0.5m+n)2=___________;⑧(a-0.6b)2=_____________.

〈四〉、[学生小结]

你认为完全平方公式在应用过程中，需要注意那些问题?

(1)公式右边共有3项。

(2)两个平方项符号永远为正。

(3)中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定。

(4)中间项是等号左边两项乘积的2倍。

〈五〉、冒险岛：

(1)(-3a+2b)2=________________________________

(2)(-7-2m)2=__________________________________

(3)(-0.5m+2n)2=_______________________________

(4)(3/5a-1/2b)2=________________________________

(5)(mn+3)2=__________________________________

(6)(a2b-0.2)2=_________________________________

(7)(2xy2-3x2y)2=_______________________________

(8)(2n3-3m3)2=________________________________

〈六〉、学生自我评价

[小结]通过本节课的学习，你有什么收获和感悟?

本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步。

〈七〉[作业]P34随堂练习P36习题

初二数学优秀教案3

一、学生学情分析

学生的技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础.

学生活动经验基础：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力;同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力.

二、教学目标

知识与技能：

(1)让学生会推导完全平方公式，并能进行简单的应用.

(2)了解完全平方公式的几何背景.

数学能力：

(1)由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力.

(2)发展学生的数形结合的数学思想.

情感与态度：

将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成教学上的“相异构想”.

三、教学重难点

教学重点：1、完全平方公式的推导;

2、完全平方公式的应用;

教学难点：1、消除学生头脑中的前概念，避免形成“相异构想”;

2、完全平方公式结构的认知及正确应用.

四、教学设计分析

本节课设计了十一个教学环节：学生练习、暴露问题——验证——推广到一般情况，形成公式——数形结合——进一步拓广——总结口诀——公式应用——学生反馈——学生PK——学生反思——巩固练习.

第一环节：学生练习、暴露问题

活动内容：计算：(a+2)2

设想学生的做法有以下几种可能：

①(a+2)2=a2+22

②(a+2)2=a2+2a+22

③正确做法;

针对这几种结果都将a=1代入计算，得出①②都是错误的，但③的做法是否一定正确呢?怎么验证?

活动目的：在很多学生的头脑中，认为两数和的完全平方与两数的平方和等同，即：

(a+2)2=a2+22，如果不将这种定式思维，就很难建立起一个正确的概念;这一环节的目的就是让学生的这种错误或其它错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维模式埋下伏笔.

第二环节：验证(a+2)2=a2–4a+22

活动内容：(a+2)2=(a+2)•(a+2)=a2+2a+2a+22

活动目的：在前一环节已经打破了学生的原有的思维定式的基础上，给学生建立正确的思维方法，避免形成“相异构想”.

第三环节：推广到一般情况，形成公式

活动内容：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

活动目的：让学生经历从特殊到一般的探究过程，体验到发现的快乐.

第四环节：数形结合

活动内容：设问：在多项式的乘法中，很多公式都都可以用几何图形进行解释，那么完全平方公式怎样用几何图形解释呢?

展示动画，用几何图形诠释完全平方公式的几何意义.

学生思考：还有没有其它的方法来诠释完全平方公式?(课后思考)

活动目的：让学生进一步认识到数与形都不是孤立存在的，数与形是可以有机地结合在一起，从而发展学生的数形结合的数学思想.

第五环节：进一步拓广

活动内容：推导两数差的完全平方公式：(a–b)2=a2–2ab+b2

方法1：(a–b)2=(a–b)(a–b)=a2–ab–ab+b2=a2–2ab+b2

方法2：(a–b)2=[a+(–b)]2=a2+2a(–b)+(–b)2=a2–2ab+b2

活动目的：让学生经历由两数和的完全平方公式拓广到两数差的完全平方公式的过程，体会到符号差异带来的结果差异，由第二种推导方法体会到两数差的完全平方公式是两数和的完全平方公式的应用.

第六环节：总结口诀、认识特征

活动内容：比较两个公式的共同点与不同点：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a–b)2=a2–2ab+b2

特征：①左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个符号不同;右边都是二次三项式，其中第一、三项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，两者也仅一个符号不同;

②公式中的a、b可以是任意一个代数式(数、字母、单项式、多项式)

口诀：首平方，尾平方，首尾相乘的两倍在中央.

活动目的：认识完全平方公式的特征，总结出完全平方公式的口诀，便于学生理解与记忆，避免学生在应用该公式中出现错误.

第七环节：公式应用

活动内容：例：计算：①(2x–3)2;②(4x+)2

解：①(2x–3)2=(2x)2–2•(2x)•3+32=4x2–12x+9

②(4x+)2=(4x)2+2•••••(4x)()+()2=16x2+2xy+

活动目的：在前几个环节中，学生对完全平方公式已经有了感性认识，通过本环节的讲解以及下一环节的练习，使学生逐步经历认识——模仿——再认识.从而上升到理性认识的阶段.

第八环节：随堂练习

活动内容：计算：①;②;③(n+1)2–n2

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的理解是否到位，完全平方公式的应用是否得当，以便教师能及时地进行查缺补漏.

第九环节：学生PK

活动内容：每个学生各出五道完全平方公式的计算题给自己的同桌解答，比一比谁的准确性率高，速度快.

活动目的：活跃课堂气氛，激起学生的好胜心，进一步巩固学生对完全平方公式的理解与应用.

第十环节：学生反思

活动内容：通过今天这堂课的学习，你有哪些收获?

收获1：认识了完全平方公式，并能简单应用;

收获2：了解了两数和与两数差的完全平方公式之间的差异;

收获3：感受到数形结合的数学思想在数学中的作用.

活动目的：通过对一堂课的归纳与总结，巩固学生对完全平方公式的认识，体会数学思想的精妙.

第十一环节：布置作业：

课本P43习题1.13

初二数学优秀教案4

教学目标

1、知识与技能：体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算.

2、过程与方法：通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力.培养学生的数形结合能力.

3、情感态度价值观：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心.

教学重难点

教学重点：

1、对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述(学生自己的语言)、几何解释.

2、会运用公式进行简单的计算.

教学难点：

1、完全平方公式的推导及其几何解释.

2、完全平方公式的结构特点及其应用.

教学工具

课件

教学过程

一、复习旧知、引入新知

问题1：请说出平方差公式，说说它的结构特点.

问题2：平方差公式是如何推导出来的?

问题3：平方差公式可用来解决什么问题，举例说明.

问题4：想一想、做一做，说出下列各式的结果.

(1)(a+b)2(2)(a-b)2

(此时，教师可让学生分别说说理由，并且不直接给出正确评价，还要继续激发学生的学习兴趣.)

二、创设问题情境、探究新知

一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)

(1)四块面积分别为：、、、;

(2)两种形式表示实验田的总面积：

①整体看：边长为的大正方形，S=;

②部分看：四块面积的和，S=.

总结：通过以上探索你发现了什么?

问题1：通过以上探索学习，同学们应该知道我们提出的问题4正确的结果是什么了吧?

问题2：如果还有同学不认同这个结果，我们再看下面的问题，继续探索.(a+b)2表示的意义是什么?请你用多项式的乘法法则加以验证.

(教学过程中教师要有意识地提到猜想、感觉得到的不一定正确，只有再通过验证才能得出真知，但还是要鼓励学生大胆猜想，发表见解，但要验证)

问题3：你能说说(a+b)2=a2+2ab+b2

这个等式的结构特点吗?用自己的语言叙述.

(结构特点：右边是二项式(两数和)的平方，右边有三项，是两数的平方和加上这两数乘积的二倍)

问题4：你能根据以上等式的结构特点说出(a-b)2等于什么吗?请你再用多项式的乘法法则加以验证.

总结：我们把(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2称为完全平方公式.

问题：①这两个公式有何相同点与不同点?②你能用自己的语言叙述这两个公式吗?

语言描述：两数和(或差)的平方等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍.

强化记忆：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加来差是减.

三、例题讲解，巩固新知

例1：利用完全平方公式计算

(1)(2x-3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2

解：(2x-3)2=(2x)2-2o(2x)o3+32

=4x2-12x+9

(4x+5y)2=(4x)2+2o(4x)o(5y)+(5y)2

=16x2+40xy+25y2

(mn-a)2=(mn)2-2o(mn)oa+a2

=m2n2-2mna+a2

交流总结：运用完全平方公式计算的一般步骤

(1)确定首、尾，分别平方;

(2)确定中间系数与符号，得到结果.

四、练习巩固

练习1：利用完全平方公式计算

练习2：利用完全平方公式计算

练习3：

(练习可采用多种形式，学生上黑板板演，师生共同评价.也可学生独立完成后，学生互相批改，力求使学生对公式完全掌握，如有学生出现问题，学生、教师应及时帮助.)

五、变式练习

六、畅谈收获，归纳总结

1、本节课我们学习了乘法的完全平方公式.

2、我们在运用公式时，要注意以下几点：

(1)公式中的字母a、b可以是任意代数式;

(2)公式的结果有三项，不要漏项和写错符号;

(3)可能出现①②这样的错误.也不要与平方差公式混在一起.

七、作业设置

初二数学优秀教案5

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.

2.掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想.通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

4.通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美.

重点难点

教学重点

(1)分数指数幂和根式概念的理解.

(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.

(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值.

教学难点

(1)分数指数幂及根式概念的理解.

(2)有理指数幂性质的灵活应用.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时

作者：路致芳

导入新课

思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算.

思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个，立方根呢?

(2)如x4=a，x5=a，x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢?

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?

(4)可否用一个式子表达呢?

活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维.

讨论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根.

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根.

(4)用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根.

教师板书n次方根的意义：

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈N.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出问题

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点?4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点?

(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢?

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?

活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看，这些数包括正数，负数和零.

(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.

(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数.

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0).

②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示.

③负数没有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示：

a为正数：n为奇数，　a的n次方根有一个为na，n为偶数，　a的n次方根有两个为±na.

a为负数：n为奇数，　a的n次方根只有一个为na，n为偶数，　a的n次方根不存在.

零的n次方根为零，记为n0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

思考

根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?

活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题.

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等.其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式.

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数.

如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数.

思考

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗?如果不一定成立，那么nan等于什么?

活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论.教师点拨，注意归纳整理.

〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕.

解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.

通过探究得到：n为奇数，nan=a.

n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

因此我们得到n次方根的运算性质：

①(na)n=a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数.

②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数.

n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值.

应用示例

思路1

例求下列各式的值：

(1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(a>b).

活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数.

解：(1)3(-8)3=-8;

(2)(-10)2=10;

(3)4(3-π)4=π-3;

(4)(a-b)2=a-b(a>b).

点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用.

变式训练

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a≤1);

(3)4(3a-3)4.

解：(1)7(-2)7=-2，

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

(3)4(3a-3)4=

点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解.

思路2

例1 下列各式中正确的是(　　)

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.a0=1

D.10(2-1)5=2-1

活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答.

解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错.

(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错.

(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错.

(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确.所以答案选D.

答案：D

点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心.

例2 3+22+3-22=__________.

活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路.

解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

所以3+22+3-22=22.

答案：22

点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.

思考

上面的例2还有别的解法吗?

活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消.同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法.

另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，

两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.

变式训练