高中数学优质课程《等差数列》教案

高中数学优质课程《等差数列》教案

　　等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。下面就是小编给大家带来的高中数学优质课程《等差数列》教案，希望能帮助到大家!

　　数学《等差数列》教案1

　　【教学目标】

　　1. 知识与技能

　　(1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：

　　(2)账务等差数列的通项公式及其推导过程：

　　(3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。

　　2.过程与方法

　　在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。

　　3.情感、态度与价值观

　　通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。

　　【教学重点】

　　①等差数列的概念;②等差数列的通项公式

　　【教学难点】

　　①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程.

　　【学情分析】

　　我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展.

　　【设计思路】

　　1.教法

　　①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性.

　　②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性.

　　③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点.

　　2.学法

　　引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法.

　　【教学过程】

　　一：创设情境，引入新课

　　1.从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么?

　　2.水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位(单位：m)组成一个什么数列?

　　3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成一个什么数列?

　　教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数.

　　学生：

　　1：0，5，10，15，20，25，….

　　2：18，15.5，13，10.5，8，5.5.

　　3:10072，10144，10216，10288，10360.

　　(设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力.

　　二：观察归纳，形成定义

　　①0，5，10，15，20，25，….

　　②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

　　③10072，10144，10216，10288，10360.

　　思考1上述数列有什么共同特点?

　　思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗?

　　思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?

　　教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念.

　　学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律;这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定.

　　教师引导归纳出：等差数列的定义;另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义.

　　(设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性;使学生体会到等差数列的规律和共同特点;一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达.)

　　三：举一反三，巩固定义

　　1.判定下列数列是否为等差数列?若是，指出公差d.

　　(1)1,1,1,1,1;

　　(2)1,0,1,0,1;

　　(3)2,1,0,-1,-2;

　　(4)4,7,10,13,16.

　　教师出示题目,学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题.

　　注意：公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 .

　　(设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用).

　　2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗?为什么?

　　(设计意图：强化等差数列的证明定义法)

　　四：利用定义，导出通项

　　1.已知等差数列：8，5，2，…，求第200项?

　　2.已知一个等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢?

　　教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示.根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法;让学生初步尝试处理数列问题的常用方法.

　　(设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识.鼓励学生自主解答，培养学生运算能力)

　　五：应用通项，解决问题

　　1判断100是不是等差数列2， 9，16，…的项?如果是，是第几项?

　　2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

　　3求等差数列 3,7,11，…的第4项和第10项

　　教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况.

　　学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

　　(设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.初步认识“基本量法”求解等差数列问题.)

　　六：反馈练习：教材13页练习1

　　七：归纳总结：

　　1.一个定义：

　　等差数列的定义及定义表达式

　　2.一个公式：

　　等差数列的通项公式

　　3.二个应用：

　　定义和通项公式的应用

　　教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充

　　(设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念.)

　　【设计反思】

　　本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣.在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率.

　　数学《等差数列》教案2

　　[教学目标]

　　1.知识与技能目标：掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解 等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。

　　2.过程与方法目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。

　　3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。

　　[教学重难点]感

　　1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。

　　2.教学难点：(1)对等差数列中“等差”两字的把握;

　　(2)等差数列通项公式的推导。

　　[教学过程]

　　一.课题引入

　　创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子)

　　(1)、在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：

　　1682，1758，1834，1910，1986，( )

　　你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗?判断的依据是什么呢?

　　(2)、通常情况下，从地面到11km的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。

　　思考:依据前面的规律, 填写(3)、(4):

　　(3) 1，4，7，10，( )，16，…

　　(4) 2，0，-2，-4，-6，( ),…

　　它们共同的规律是?

　　从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。

　　我们把有这一特点的数列叫做等差数列。

　　二、新课探究

　　(一)等差数列的定义

　　1、等差数列的定义

　　如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

　　(1)定义中的关健词有哪些?

　　(2)公差d是哪两个数的差?

　　2、等差数列定义的数学表达式：

　　试一试：它们是等差数列吗?

　　(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10…

　　(2) 5，5，5，5，5，5，…

　　(3) -1，-3，-5，-7，-9,…

　　(4) 数列{an}，若an+1-an=3

　　3、等差中顶定义

　　在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：

　　(1)、2 ，( ) ,4 (2)、-12,( ) ，0 ( 3 ) a ,( ),b

　　如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

　　(二)等差数列的通项公式

　　探究1:等差数列的通项公式(求法一)

　　如果等差数列 首项是 ，公差是 ，那么这个等差数列 如何表示? 呢?

　　根据等差数列的定义可得：

　　， ， ，…。

　　所以： ，

　　，

　　，

　　……

　　由此得 ，

　　因此等差数列的通项公式就是: ，

　　探究2:等差数列的通项公式(求法二)

　　根据等差数列的定义可得：

　　……

　　将以上 -1个式子相加得等差数列的通项公式就是: ，

　　三、应用与探索

　　例1、(1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。

　　(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401?

　　(2)、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得 成立，实质上是要求方程 的正整数解。

　　例2、在等差数列中,已知 =10, =31，求首项 与公差d.

　　解：由 ，得 。

　　在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中,对an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量就可以求余下的一个量,这是一种方程的思想。

　　巩固练习

　　1. 等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1,则a =( )。

　　A. 1 B. -1 C. -2 D. 2

　　2.一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d。

　　四、小结

　　1.等差数列的通项公式:

　　公差 ;

　　2. 等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量;

　　3. 判断一个数列是否为等差数列只需看 是否为常数即可;

　　4. 利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题.

　　五、作业：

　　1、必做题：课本第40页 习题2.2 第1，3，5题

　　2、选做题：如何以最快的速度求：1+2+3+•••+100=