优质初中数学《完全平方公式》教案

　　1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。

　　2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。

　　二、学习者分析：

　　1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：

　　①同类项的定义。

　　②合并同类项法则

　　③多项式乘以多项式法则。

　　2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平：

　　在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。

　　三、教学/学习目标及其对应的课程标准：

　　(一)教学目标：

　　1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。

　　2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

　　(二)知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理

　　数、实数、代数式、防城、不等式、函数;掌握必要的运算，(包括估算)技能;探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。

　　(四)解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题;尝试从不同

　　角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异;通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

　　(五)情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难

　　和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心;并尊重与理解他人的见解;能从交流中获益。

　　四、教育理念和教学方式：

　　1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。

　　教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时

　　候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向;当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。

　　2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式

　　展开教学。

　　3、教学评价方式：

　　(1)通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主

　　动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。

　　(2)通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，

　　揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。

　　(3)通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的

　　教学效果。

　　五、教学媒体：多媒体六、教学和活动过程：

　　教学过程设计如下：

　　〈一〉、提出问题

　　[引入]同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，通过运算下列四个小题，你能总结出结果与多项式中两个单项式的关系吗?

　　(2m+3n)2=_______________，(-2m-3n)2=______________，

　　(2m-3n)2=_______________，(-2m+3n)2=_______________。

　　〈二〉、分析问题

　　1、[学生回答]分组交流、讨论

　　(2m+3n)2=4m2+12mn+9n2，(-2m-3n)2=4m2+12mn+9n2，

　　(2m-3n)2=4m2-12mn+9n2，(-2m+3n)2=4m2-12mn+9n2。

　　(1)原式的特点。

　　(2)结果的项数特点。

　　(3)三项系数的特点(特别是符号的特点)。

　　(4)三项与原多项式中两个单项式的关系。

　　2、[学生回答]总结完全平方公式的语言描述：

　　两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍;

　　两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。

　　3、[学生回答]完全平方公式的数学表达式：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2;

　　(a-b)2=a2-2ab+b2.

　　〈三〉、运用公式，解决问题

　　1、口答：(抢答形式，活跃课堂气氛，激发学生的学习积极性)

　　(m+n)2=____________,(m-n)2=_______________,

　　(-m+n)2=____________,(-m-n)2=______________,

　　(a+3)2=______________,(-c+5)2=______________,

　　(-7-a)2=______________,(0.5-a)2=______________.

　　2、判断：

　　()①(a-2b)2=a2-2ab+b2

　　()②(2m+n)2=2m2+4mn+n2

　　()③(-n-3m)2=n2-6mn+9m2

　　()④(5a+0.2b)2=25a2+5ab+0.4b2

　　()⑤(5a-0.2b)2=5a2-5ab+0.04b2

　　()⑥(-a-2b)2=(a+2b)2

　　()⑦(2a-4b)2=(4a-2b)2

　　()⑧(-5m+n)2=(-n+5m)2

　　3、小试牛刀

　　①(x+y)2=______________;②(-y-x)2=_______________;

　　③(2x+3)2=_____________;④(3a-2)2=_______________;

　　⑤(2x+3y)2=____________;⑥(4x-5y)2=______________;

　　⑦(0.5m+n)2=___________;⑧(a-0.6b)2=_____________.

　　〈四〉、[学生小结]

　　你认为完全平方公式在应用过程中，需要注意那些问题?

　　(1)公式右边共有3项。

　　(2)两个平方项符号永远为正。

　　(3)中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定。

　　(4)中间项是等号左边两项乘积的2倍。

　　〈五〉、冒险岛：

　　(1)(-3a+2b)2=________________________________

　　(2)(-7-2m)2=__________________________________

　　(3)(-0.5m+2n)2=_______________________________

　　(4)(3/5a-1/2b)2=________________________________

　　(5)(mn+3)2=__________________________________

　　(6)(a2b-0.2)2=_________________________________

　　(7)(2xy2-3x2y)2=_______________________________

　　(8)(2n3-3m3)2=________________________________

　　〈六〉、学生自我评价

　　[小结]通过本节课的学习，你有什么收获和感悟?

　　本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步。

　　〈七〉[作业]P34随堂练习P36习题

　　数学《完全平方公式》教案2

　　总体说明:

　　完全平方公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，完全平方公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过完全平方公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处.而且完全平方公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算、解一元二次方程以及二次函数的恒等变形的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用.因此学好完全平方公式对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义.

　　本节是北师大版七年级数学下册第一章《整式的运算》的第8小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历探索与推导完全平方公式的过程，培养学生的符号感与推理能力，让学生进一步体会数形结合的思想在数学中的作用.

　　一、学生学情分析

　　学生的技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础.

　　学生活动经验基础：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力;同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力.

　　二、教学目标

　　知识与技能：

　　(1)让学生会推导完全平方公式，并能进行简单的应用.

　　(2)了解完全平方公式的几何背景.

　　数学能力：

　　(1)由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力.

　　(2)发展学生的数形结合的数学思想.

　　情感与态度：

　　将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成教学上的“相异构想”.

　　三、教学重难点

　　教学重点：1、完全平方公式的推导;

　　2、完全平方公式的应用;

　　教学难点：1、消除学生头脑中的前概念，避免形成“相异构想”;

　　2、完全平方公式结构的认知及正确应用.

　　四、教学设计分析

　　本节课设计了十一个教学环节：学生练习、暴露问题——验证——推广到一般情况，形成公式——数形结合——进一步拓广——总结口诀——公式应用——学生反馈——学生PK——学生反思——巩固练习.

　　第一环节：学生练习、暴露问题

　　活动内容：计算：(a+2)2

　　设想学生的做法有以下几种可能：

　　①(a+2)2=a2+22

　　②(a+2)2=a2+2a+22

　　③正确做法;

　　针对这几种结果都将a=1代入计算，得出①②都是错误的，但③的做法是否一定正确呢?怎么验证?

　　活动目的：在很多学生的头脑中，认为两数和的完全平方与两数的平方和等同，即：

　　(a+2)2=a2+22，如果不将这种定式思维*，就很难建立起一个正确的概念;这一环节的目的就是让学生的这种错误或其它错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维模式埋下伏笔.

　　第二环节：验证(a+2)2=a2–4a+22

　　活动内容：(a+2)2=(a+2)•(a+2)=a2+2a+2a+22

　　活动目的：在前一环节已经打破了学生的原有的思维定式的基础上，给学生建立正确的思维方法，避免形成“相异构想”.

　　第三环节：推广到一般情况，形成公式

　　活动内容：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

　　活动目的：让学生经历从特殊到一般的探究过程，体验到发现的快乐.

　　第四环节：数形结合

　　活动内容：设问：在多项式的乘法中，很多公式都都可以用几何图形进行解释，那么完全平方公式怎样用几何图形解释呢?

　　展示动画，用几何图形诠释完全平方公式的几何意义.

　　学生思考：还有没有其它的方法来诠释完全平方公式?(课后思考)

　　活动目的：让学生进一步认识到数与形都不是孤立存在的，数与形是可以有机地结合在一起，从而发展学生的数形结合的数学思想.

　　第五环节：进一步拓广

　　活动内容：推导两数差的完全平方公式：(a–b)2=a2–2ab+b2

　　方法1：(a–b)2=(a–b)(a–b)=a2–ab–ab+b2=a2–2ab+b2

　　方法2：(a–b)2=[a+(–b)]2=a2+2a(–b)+(–b)2=a2–2ab+b2

　　活动目的：让学生经历由两数和的完全平方公式拓广到两数差的完全平方公式的过程，体会到符号差异带来的结果差异，由第二种推导方法体会到两数差的完全平方公式是两数和的完全平方公式的应用.

　　第六环节：总结口诀、认识特征

　　活动内容：比较两个公式的共同点与不同点：(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a–b)2=a2–2ab+b2

　　特征：①左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个符号不同;右边都是二次三项式，其中第一、三项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，两者也仅一个符号不同;

　　②公式中的a、b可以是任意一个代数式(数、字母、单项式、多项式)

　　口诀：首平方，尾平方，首尾相乘的两倍在中央.

　　活动目的：认识完全平方公式的特征，总结出完全平方公式的口诀，便于学生理解与记忆，避免学生在应用该公式中出现错误.

　　第七环节：公式应用

　　活动内容：例：计算：①(2x–3)2;②(4x+)2

　　解：①(2x–3)2=(2x)2–2•(2x)•3+32=4x2–12x+9

　　②(4x+)2=(4x)2+2•••••(4x)()+()2=16x2+2xy+

　　活动目的：在前几个环节中，学生对完全平方公式已经有了感性认识，通过本环节的讲解以及下一环节的练习，使学生逐步经历认识——模仿——再认识.从而上升到理性认识的阶段.

　　第八环节：随堂练习

　　活动内容：计算：①;②;③(n+1)2–n2

　　活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的理解是否到位，完全平方公式的应用是否得当，以便教师能及时地进行查缺补漏.

　　第九环节：学生PK

　　活动内容：每个学生各出五道完全平方公式的计算题给自己的同桌解答，比一比谁的准确性率高，速度快.

　　活动目的：活跃课堂气氛，激起学生的好胜心，进一步巩固学生对完全平方公式的理解与应用.

　　第十环节：学生反思

　　活动内容：通过今天这堂课的学习，你有哪些收获?

　　收获1：认识了完全平方公式，并能简单应用;

　　收获2：了解了两数和与两数差的完全平方公式之间的差异;

　　收获3：感受到数形结合的数学思想在数学中的作用.

　　活动目的：通过对一堂课的归纳与总结，巩固学生对完全平方公式的认识，体会数学思想的精妙.

　　第十一环节：布置作业：

　　课本P43习题1.13

　　数学《完全平方公式》教案3

　　教学目标

　　1、知识与技能：体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算.

　　2、过程与方法：通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力.培养学生的数形结合能力.

　　3、情感态度价值观：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心.

　　教学重难点

　　教学重点：

　　1、对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述(学生自己的语言)、几何解释.

　　2、会运用公式进行简单的计算.

　　教学难点：

　　1、完全平方公式的推导及其几何解释.

　　2、完全平方公式的结构特点及其应用.

　　教学工具

　　课件

　　教学过程

　　一、复习旧知、引入新知

　　问题1：请说出平方差公式，说说它的结构特点.

　　问题2：平方差公式是如何推导出来的?

　　问题3：平方差公式可用来解决什么问题，举例说明.

　　问题4：想一想、做一做，说出下列各式的结果.

　　(1)(a+b)2(2)(a-b)2

　　(此时，教师可让学生分别说说理由，并且不直接给出正确评价，还要继续激发学生的学习兴趣.)

　　二、创设问题情境、探究新知

　　一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)

　　(1)四块面积分别为：、、、;

　　(2)两种形式表示实验田的总面积：

　　①整体看：边长为的大正方形，S=;

　　②部分看：四块面积的和，S=.

　　总结：通过以上探索你发现了什么?

　　问题1：通过以上探索学习，同学们应该知道我们提出的问题4正确的结果是什么了吧?

　　问题2：如果还有同学不认同这个结果，我们再看下面的问题，继续探索.(a+b)2表示的意义是什么?请你用多项式的乘法法则加以验证.

　　(教学过程中教师要有意识地提到猜想、感觉得到的不一定正确，只有再通过验证才能得出真知，但还是要鼓励学生大胆猜想，发表见解，但要验证)

　　问题3：你能说说(a+b)2=a2+2ab+b2

　　这个等式的结构特点吗?用自己的语言叙述.

　　(结构特点：右边是二项式(两数和)的平方，右边有三项，是两数的平方和加上这两数乘积的二倍)

　　问题4：你能根据以上等式的结构特点说出(a-b)2等于什么吗?请你再用多项式的乘法法则加以验证.

　　总结：我们把(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2称为完全平方公式.

　　问题：①这两个公式有何相同点与不同点?②你能用自己的语言叙述这两个公式吗?

　　语言描述：两数和(或差)的平方等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍.

　　强化记忆：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加来差是减.

　　三、例题讲解，巩固新知

　　例1：利用完全平方公式计算

　　(1)(2x-3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2

　　解：(2x-3)2=(2x)2-2o(2x)o3+32

　　=4x2-12x+9

　　(4x+5y)2=(4x)2+2o(4x)o(5y)+(5y)2

　　=16x2+40xy+25y2

　　(mn-a)2=(mn)2-2o(mn)oa+a2

　　=m2n2-2mna+a2

　　交流总结：运用完全平方公式计算的一般步骤

　　(1)确定首、尾，分别平方;

　　(2)确定中间系数与符号，得到结果.

　　四、练习巩固

　　练习1：利用完全平方公式计算

　　练习2：利用完全平方公式计算

　　练习3：

　　(练习可采用多种形式，学生上黑板板演，师生共同评价.也可学生独立完成后，学生互相批改，力求使学生对公式完全掌握，如有学生出现问题，学生、教师应及时帮助.)

　　五、变式练习

　　六、畅谈收获，归纳总结

　　1、本节课我们学习了乘法的完全平方公式.

　　2、我们在运用公式时，要注意以下几点：

　　(1)公式中的字母a、b可以是任意代数式;

　　(2)公式的结果有三项，不要漏项和写错符号;

　　(3)可能出现①②这样的错误.也不要与平方差公式混在一起.

　　七、作业设置

优质初中数学《完全平方公式》教案

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